向量运算复习
📐 向量运算复习
设
$$
\mathbf{a} = [1,,2,,3], \quad \mathbf{b} = [4,,5,,6]
$$
1) 点积（Dot Product / 内积）
定义
$$
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z
$$
几何意义
$$
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=|\mathbf{a}|,|\mathbf{b}|\cos\theta
$$
- 反映两个向量的方向关系
- 同向时取最大值，垂直时为 0
例子
$$
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=1\times4+2\times5+3\times6=4+10+18=32
$$
2) 叉乘（Cross Product / 向量积）
定义（仅三维）
$$
\mathbf{a}\times\mathbf{b}=
\begin{bmatrix}
a_y b_z - a_z b_y \
a_z b_x - a_x b_z \
a_x b_y - a_y b_x
\end{bmatrix}
$$
几何意义
- 结果是一个 垂直于 $\mathbf{a}, \mathbf{b}$ 的向量
- 长度为
$$
|\mathbf{a}\times\mathbf{b}|=|\mathbf{a}|,|\mathbf{b}|\sin\theta
$$
- 大小等于以 $\mathbf{a}, \mathbf{b}$ 为邻边的平行四边形面积
例子
$$
\mathbf{a}\times\mathbf{b}=
\begin{bmatrix}
(2\times6) - (3\times5) \
(3\times4) - (1\times6) \
(1\times5) - (2\times4)
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
-3 \
6 \
-3
\end{bmatrix}
$$
3) 逐元素乘积（Hadamard Product）
在许多编程环境中，a * b 表示逐元素相乘（非矩阵乘法）：
$$
\mathbf{a}*\mathbf{b}=[1\times4,;2\times5,;3\times6]=[4,,10,,18]
$$